Bilim kurgu filmleri veya romanlarında boyut kavramını sık sık duymuşuzdur. Ya da astral seyahat ve benzeri yerlerde. Ve genelde 4, 5, 6. gibi boyutlar geçer. Peki kaçımız kaç boyutlu bir evrende yaşadığımızı merak ettik? Veya biz kendimiz kaç boyutluyuz? Peki Büyük Patlama teorisini doğru sayarsak kaç boyuttan kaç boyuta ulaştı evren? Tüm bunlar aslında modern fizikteki gibi bir takım görüş ayrılıklarına sebep olmuştur. En basiti gölge. Kimi profesörler, bilim adamları gölgeyi 2 boyutlu kabul etse de kimileri de 3 boyutlu olduğu yönünde ısrar etmekte. Biz de bugün hem boyut kavramını hem de bu gölge durumuna matematiksel ve fiziksel bir yaklaşım sergileyeceğiz. Ancak boyut kavramlarından sadece algılayabildiğimiz boyutlardan 3 uzlamsal olanlarını sizlere aktaracağız. Diğerlerini de sonraya... 

Boyut

Az önce giriş kısmında boyut kavramından az da olsa bahsettik. 1 boyutlu, 2 boyutlu, 3 boyutlu diye gider. Bunu belirleyen şey aslında koordinatla daha rahat anlaşılır. Bu yüzden boyut kavramını daha iyi anlatabilmeniz için koordinatları iyi bilmeniz gerekir diye düşünüyoruz.

Koordinat 

Yine bunu da filmlerde, savaş oyunlarında, savaşlarda, haritalarda ve benzeri yerlerde duyduğunuza eminiz. (2,3)? Matematikte (Tabi matematiği seviyorduysanız.) bol bol soru çözerken daha çok analitik geometride sıklıkla karşılaşmışsınızdır. (2,3) bu bize şunu söylüyor: -x ekseninde 2 birim, -y ekseninde 3 birim uzunluğa sahip bir nokta. Bu daha çok kartezyen koordinatında geçen bir durumdur. Kartezyen koordinatı da belirli bir konumun orjin veya -o ya da başlangıç noktasına göre eksenlere uzaklığını belirlemek için vardır. Ve bu kartezyen koordinatı, koordinatı anlamak için bizce çok güzel bir örnek. Homojen, silindirik, kutupsal gibi koordinatlar da var. Tabi oralarda tarifler birazcık değişebiliyor. 

Şimdi tekrardan koordinata gelelim. Aslında kartezyen koordinatını bir sonraki başlıklarda vereceğimiz örnekleri ve yazının başında verdiğimiz problemler hakkında açıklama sözümüzü tutmak adına kullanmak son derece yardımcı olacaktır. Ancak burada üç dik ekseni kullanacağız. Kartezyende ise iki dik eksen var. Zaten bu üç dik eksenden oluşan koordinat da Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır. Bu yüzden kartezyeni sadece iki dik düzlem üzerinden anlatıp daha sonra üç boyutlu uzaydan açıklamalara devam edeceğiz. Burada üç boyutlu uzaydansa üç boyutlu koordinat sistemi adını kullanmamız daha uygun olacaktır.

Kartezyen -x ve -y koordinatları birbirine diktir. Bunu matematikte analitik geometri alanında sıklıkla kullanırız. Kareyi ele alalım. Köşeleri birer koordinata sahiptir. Ve bu koordinatlar sayesinde karenin kenar uzunluklarını ve de alanını kolayca buluruz. Bi’de limit, türev, İntegral ve çeşitli parabolik ve fonksiyonların varyasyonlarıyla ilgili sorunların çözümüne ulaşırız. Ama bizi burada ilgilendiren ne diye soracak olursanız alan cevabını vereceğiz sizlere. Şimdi de üç boyutlu koordinat sistemini ele alalım. 

Üç boyutlu koordinat sistemi

Üç boyutlu koordinat sistemi çok basittir. Tıpkı iki boyutlu koordinat sistemi gibidir. Sadece ek olarak bu iki dik -x ve -y eksenlerine bir de -z ekseni dik olarak eklenmiştir. (2,3,4) koordinatlarını şimdi bir inceleyelim. Bu tıpkı iki boyutlu koordinat sistemindeki gibidir. 2 birim -x eksenine, 3 birim -y eksenine ve 4 birim de -z eksenine uzak bir nokta. 

Bazılarımız iki boyutlu koordinat sisteminden sonra bu üç boyutlu koordinat sistemini tam olarak oturtamamış olabilir. Bir oda hayal edin. Ve odanın köşesine gidin. Zeminde yer alan köşe noktayı orjin kabul edin. Duvarların zeminle kesiştiği ve girinti yaptığı yerleri koordinat eksenleri varsayın. Bu girintileri mavi, yeşil ve kırmızı kalemle çizip belirtin. Yalnız ilk başta gittiğimiz köşeyi siyah bir renkle işaretleyip orjin diye belirtin. Mavi, yeşil ve kırmızı girintiler bu siyah orjin noktasında kesişsinler. Şimdi dilediğiniz renkteki girintilere -x, -y ve -z koordinatlarından dilediğinizi atayın. Umarız kafanızda canlandırabilmişsinizdir.

Bu üç boyutlu koordinat sisteminde en önemli nokta maddenin ortak özelliğinden biri olan hacmi elde edebiliyor olmamızdır. Taban alanını iki boyutlu koordinat sisteminde elde ettik. Ve buradan taban alanını rahatça buluruz. Hacim için gerekli olan bir tane dik yükseklik. Bu da -z ekseninden geçer. Eğer -z ekseninden bir birim atayıp taban alanıyla çarparsak hacmi elde etmiş oluruz.

Gölge 

Gölge deyince aklımıza ilk gelen şey karanlıktır. Gölgeyi günlük hayatta neredeyse her yerde görebilirsiniz. Zaten çok basit bir mekanizmanın ürünüdür. Bir ışık kaynağının önüne bir opak engel yerleştirilirse engelin arkasında karanlık bir alan oluştuğunu gözlemeyeceğizdir. Ki buna gölge deriz. Peki gölgeyi görebilir miyiz? Evet, son derece absürt bir soru gibi ama soruyoruz sizlere: Gölge görülebilir mi? Evet? Hayır? Ama bunu cevaplamadan önce şunu dediğinize eminiz: Az önce bize gölgenin günlük hayatta neredeyse her yerde görebileceğimizi söylediniz ya!? Evet ama günlük hayattaydı. Peki ya fiziksel ve matematiksel olarak bakacak olursak? Ki bu iki bilim doğayı yani gerçeği açığa çıkarmak için vardır. Buradan ne demek istediğimizi anladınız umarız? Şey gibi düşünün: Günlük hayatta 2 kilo ağırlığında dersiniz. Ancak gerçekte bu 2 kilogram kütle ya da 2 m.a’dır. Yani bir farklılık söz konusu. Gelin şimdi şu muallak sorunun cevabını bulmaya çalışalım. 

2 mi, 3 mü?

2 mi, 3 mü? Yani 2 boyutlu mu, 3 boyutlu mu? Bu sorular gölge için geçerli. Sizlere az önce gölgeyi görüp göremeyeceğinizi sorduk. Bunun cevabı için matematiksel ve fiziksel ifadeleri kullanabiliriz. Öncelikle bir şeyi görebilmemiz için uzay boyutunun var olması gerekir. Yani 1 ve 2 boyutlu şeyleri göremeyiz. Profesör Ali Nesin katıldığı bir televizyon programında da bunu belirtmiş. Üzerine de bir öğrencisiyle geçen konuşma neticesinde gölge iki boyutlu olmasına rağmen neden görürüz sorusu ortaya çıkmıştır? Demek ki gölge görülebiliyormuş. Ama 2 boyutlu? E peki  2 boyutlu bir şey görülebilir mi?

İki boyutlu koordinat sisteminde gölgeyi hayal edin. Kare şeklinde olsun. Bir derinliğe yani -z eksenine sahip değil. Kareye tependen baktınız tamam. Ama yandan baktığınız zaman bir şey yok. Bu -z ekseninden ileri gelir. E peki biz herhangi bir gölgeye aynı şekilde tependen ve yandan baksak? 

Burada bir cevap bulmaktan daha çok birkaç mantığa ulaştık. Ya gölge 2 boyutlu ama bir nedenden ötürü onu görebiliyoruz. Ya da gölge 3 boyutlu biz bunu fark edemedik ki bu çok olası değil.